Question

9．已知：正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，連接EA、EB、EC．
（1）若EA²+EC²=2EB²，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)E必在對(duì)角線AC上．
（2）若EA+EB+EC的最小值為$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1），求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBE′，連接EE′．只要證明CE′²+EC²=EE′²，推出∠ECE′=90°，推出∠ECB+∠BCE′=∠ECB+∠BAE=90°，即A、E、C共線，推出點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線上．
（2）如圖2中，將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′BE′，連結(jié)A′C，作A′H⊥BC于H．首先證明△EBE′為等邊三角形，推出EE′=BE，A′E′=AE，BA′=BA，∠ABA′=60°，因?yàn)锳′E′+E′E+EC≥A′C，所以AE+BE+CE≥AC（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E′、點(diǎn)E在AC上時(shí)，取等號(hào)），AE+BE+CE有最小值，最小值為A′C的長(zhǎng)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，在Rt△A′BH中，∠A′BH=30°，A′H=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$a，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，在Rt△A′CH中，根據(jù)A′C²=A′H²+CH²，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1中，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBE′，連接EE′．

∵BE=BE′，∠EBE′=90°，AE=CE′，
∴EE′=$\sqrt{2}$BE，
∵EA²+EC²=2EB²，
∴CE′²+EC²=EE′²，
∴∠ECE′=90°，
∴∠ECB+∠BCE′=∠ECB+∠BAE=90°，
∴A、E、C共線，
∴點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線上．

（2）解：如圖2中，將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′BE′，連結(jié)A′C，作A′H⊥BC于H．

∵△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′BE′，
∴BE=BE′，∠EBE′=60°，
∴△EBE′為等邊三角形，
∴EE′=BE，
∴A′E′=AE，BA′=BA=2，∠ABA′=60°，
∵A′E′+E′E+EC≥A′C，
∴AE+BE+CE≥AC（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E′、點(diǎn)E在AC上時(shí)，取等號(hào)），
∴AE+BE+CE有最小值，最小值為A′C的長(zhǎng)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
在Rt△A′BH中，∠A′BH=30°，
∴A′H=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$a，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴CH=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△A′CH中，A′C²=A′H²+CH²，
∴（$\frac{1}{2}$a）²+（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²，
解得a=2．
∴正方形的邊長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題正方形的性質(zhì)、最短問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短問(wèn)題，所以中考常考題型．