Question

16．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+m與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)直線y=-x+5交于點(diǎn)B（4，n），C為直線y=-x+5上任意一點(diǎn)
（1）求m，n的值，；
（2）求使線段AC長度最短時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，并得出AC的最小值為6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先把點(diǎn)B（4，n）代入直線y=-x+5得出n的值，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=2x+m求得m的值即可；
（2）過點(diǎn)A作直線y=-x+5的垂線，垂足為C，作CM⊥AN于M．利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解決問題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B（4，n）在直線上y=-x+5，
∴n=-4+5=1，B（4，1）．
∵點(diǎn)B（4，1）在直線上y=2x+m上，
∴8+m=1，解得m=-7；

（2）過點(diǎn)A作直線y=-x+5的垂線，垂足為C，此時(shí)線段AC最短．作CM⊥AN于M．
∵直線y=-x+5與y軸交點(diǎn)N（0，5），直線y=2x-7與y軸交點(diǎn)A（0，-7），
∴AN=12，∠ANC=45°，
∵∠ACN=90°，
∴AC=CN，
∵CM⊥AN，
∴AM=CM=6，AC=6$\sqrt{2}$，
∴OM=1，
∴C（6，-1）．
故答案為6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征與垂線段最短的性質(zhì)，結(jié)合圖形，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題．