Question

5．如圖，⊙M的圓心M（-1，2），⊙M經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與y軸交于點(diǎn)A．經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線l解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+4與x軸交于點(diǎn)B，以M為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過x軸上點(diǎn)D（2，0）和點(diǎn)C（-4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：直線l是⊙M的切線；
（3）點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且PE與直線l垂直，垂足為E；PF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PEF的面積最�。�若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PEF面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x+4），將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）連接AM，過點(diǎn)M作MG⊥AD，垂足為G．先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的長，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可證明∠MAG=∠ABD，故此可證明AM⊥AB；
（3））先證明∠FPE=∠FBD．則PF：PE：EF=$\sqrt{5}$：2：1．則△PEF的面積=$\frac{1}{5}$PF²，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{2}{9}$x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$），則F（x，-$\frac{1}{2}$x+4）．然后可得到PF與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x+4），將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得：-9a=2，解得：a=-$\frac{2}{9}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{9}$x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$．
（2）連接AM，過點(diǎn)M作MG⊥AD，垂足為G．

把x=0代入y=-$\frac{1}{2}$x+4得：y=4，
∴A（0，4）．
將y=0代入得：0=-$\frac{1}{2}$x+4，解得x=8，
∴B（8，0）．
∴OA=4，OB=8．
∵M(jìn)（-1，2），A（0，4），
∴MG=1，AG=2．
∴tan∠MAG=tan∠ABO=$\frac{1}{2}$．
∴∠MAG=∠ABO．
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．
∴l(xiāng)是⊙M的切線．
（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，
∴∠FPE=∠FBD．
∴tan∠FPE=$\frac{1}{2}$．
∴PF：PE：EF=$\sqrt{5}$：2：1．
∴△PEF的面積=$\frac{1}{2}$PE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$PF•$\frac{\sqrt{5}}{5}$PF=$\frac{1}{5}$PF²．
∴當(dāng)PF最小時(shí)，△PEF的面積最�。�
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{2}{9}$x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$），則F（x，-$\frac{1}{2}$x+4）．
∴PF=（-$\frac{1}{2}$x+4）-（-$\frac{2}{9}$x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$）=-$\frac{1}{2}$x+4+$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{9}$x-$\frac{16}{9}$=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{1}{18}$x+$\frac{20}{9}$=$\frac{2}{9}$（x-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{71}{32}$．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{8}$時(shí)，PF有最小值，PF的最小值為$\frac{71}{32}$．
∴P（$\frac{1}{8}$，$\frac{55}{32}$）．
∴△PEF的面積的最小值為=$\frac{1}{5}$×（$\frac{71}{32}$）²=$\frac{5041}{5120}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，列出PF與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．