Question

5．如圖，動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù)y=$\frac{16}{x}$（x＞0）的圖象上移動(dòng)，⊙P半徑為2，A（3，0），B（6，0），點(diǎn)Q是⊙P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是QB的中點(diǎn)，則AC的最小值是2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 取點(diǎn)P（4，4），連接OP交⊙P于點(diǎn)Q′，連接BQ′，取BQ′的中點(diǎn)C′，連接AC′．因?yàn)镺A=AB、CB=CQ，所以AC=$\frac{1}{2}$OQ，所以當(dāng)OP最小時(shí)，OQ、AC最小，Q運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，OQ最小，由此即可解決問題．

解答 解：取點(diǎn)P（4，4），連接OP交⊙P于點(diǎn)Q′，連接BQ′，取BQ′的中點(diǎn)C′，連接AC′，此時(shí)AC′最�。�
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，$\frac{16}{x}$），則OP=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{16}{x}）^{2}}$≥$\sqrt{2x•\frac{16}{x}}$=4$\sqrt{2}$，當(dāng)x=$\frac{16}{x}$=4時(shí)，取等號(hào)．
∵A（3，0），B（6，0），點(diǎn)C是QB的中點(diǎn)，
∴OA=AB，CB=CQ，
∴AC=$\frac{1}{2}$OQ．
當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，OQ最小，
此時(shí)AC的最小值A(chǔ)C′=$\frac{1}{2}$OQ′=$\frac{1}{2}$（OP-PQ′）=2$\sqrt{2}$-1．
故答案為：2$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、兩點(diǎn)間的距離公式、完全平方公式、三角形中位線定理、最小值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方公式找出OP最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)并確定當(dāng)AC最小時(shí)點(diǎn)Q的位置．