Question

20．如圖，點D是等腰Rt△ABC的斜邊AB上的一點，AB=3BD，AF⊥CD于點F交BC于點E．
（1）求證：E是BC的中點；
（2）求AF：CF的值；
（3）求DF：CF的值．

Answer 1

分析 （1）作BP⊥BC交CD的延長線于P，如圖1，先由AC∥BP得$\frac{BP}{AC}$=$\frac{AD}{BD}$，由于AB=3BD，則AD=2BD，AC=2BP，所以BC=2BP，再證明△ACE≌△CBP得到CE=BP，則BC=2CE，于是可判斷
E是BC的中點；
（2）證明Rt△ACF∽△CEF，則$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AC}{CE}$，而BC=AC=2CE，易得$\frac{AF}{CF}$=2；
（3）作DH∥AE交BC于H，如圖2，根據(jù)平行線分線段成比例定理得$\frac{BH}{BE}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{1}{3}$，則EH=$\frac{2}{3}$BE，再由EF∥DH，然后利用平行線分線段成比例定理即可得到$\frac{DF}{CF}$=$\frac{EH}{CE}$=$\frac{2}{3}$．

解答 （1）證明：作BP⊥BC交CD的延長線于P，如圖1，
∵∠ACB=90°，
∴AC∥BP，
∴$\frac{BP}{AC}$=$\frac{AD}{BD}$，
∵AB=3BD，
∴AD=2BD，
∴AC=2BP，
而AC=BC，
∴BC=2BP，
∵AF⊥CD，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
而∠ACF+∠ECF=90°，
∴∠CAF=∠ECF，
在△ACE和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠CBP}\\{AC=CB}\\{∠CAE=∠BCP}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBP，
∴CE=BP，
∴BC=2CE，
∴E是BC的中點；
（2）解：∵∠CAF=∠ECF，
∴Rt△ACF∽△CEF，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AC}{CE}$，
而BC=AC=2CE，
∴$\frac{AF}{CF}$=2；
（3）解：作DH∥AE交BC于H，如圖2，
∴$\frac{BH}{BE}$=$\frac{BD}{BA}$=$\frac{1}{3}$，
∴EH=$\frac{2}{3}$BE，
∵EF∥DH，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{EH}{CE}$=$\frac{\frac{2}{3}BE}{CE}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．也考查了三角形全等的判定與性質．