Question

15．如圖所示，AB、AC是⊙O的切線，B、C是切點，∠BAC=70°，點P是⊙O上不同于B、C的任意一點，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

分析 連接OB、OC，如圖，根據(jù)切線的性質得∠ABO=90°，∠ACO=90°，則根據(jù)四邊形內角和得到∠AOB=180°-∠A=110°，然后分類討論：當P在優(yōu)弧BC上時，根據(jù)圓周角定理易得∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=55°，當P在劣弧BC上時，即P′點處，則利用圓內接四邊形的性質易得∠BP′C=180°-∠BPC=125°．

解答 解：連接OB、OC，如圖，
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠ABO=90°，∠ACO=90°，
∴∠AOB=180°-∠A=180°-70°=110°，
當P在優(yōu)弧BC上時，∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=55°，
當P在劣弧BC上時，即P′點處，∠BP′C=180°-∠BPC=125°，
綜上所述，∠BPC的度數(shù)為55°或125°．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了圓周角定理．注意分類討論思想的運用．