Question

3．已知：如圖數(shù)軸上兩點A、B所別應的分別為-3、1，點P在數(shù)軸上從點A出發(fā)以每秒鐘2個單位的長度的速度向右運動，點Q在數(shù)軸上從點B出發(fā)以每秒鐘1個單位長度的速度向左運動，設點P的運動時間為t秒．
（1）直接寫出線段AB的中點所對應的數(shù)及t秒后點P所對應的數(shù)．
（2）若點P和點Q同時出發(fā)，求點P和點Q相遇時的位置所對應的數(shù)；
（3）若點P比點Q遲1秒鐘出發(fā)，問點P出發(fā)幾秒后，點P和點Q剛好相距1個單位長度．并問此時數(shù)軸上是否存在一個點C，使其到點A、點P和點Q這三點的距離和最�。咳舸嬖�，直接寫出點C所對應的數(shù)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A表示的數(shù)為-3，點B表示的數(shù)為1，根據(jù)中點坐標公式即可得到AB的中點所對應的數(shù)，進一步利用點的平移規(guī)律求得點P對應的數(shù)；
（2）可設經(jīng)過x秒鐘點P和點Q相遇，由路程和是AB的長，列出方程求解，進一步得出相遇點的位置即可；
（3）設點P出發(fā)y秒后，點P和點Q剛好相距1個單位長度，列出方程解答，分別求得P、Q點表示的數(shù)，設出點C表示的數(shù)，進一步利用兩點之間的距離求得最小值即可．

解答 解：（1）線段AB的中點所對應的數(shù)是$\frac{-3+1}{2}$=-1，點P所對應的數(shù)是-3+2t；
（2）設經(jīng)過x秒鐘點P和點Q相遇，由題意得
2x+x=1-（-3）
解得：x=$\frac{4}{3}$，
點P和點Q相遇時的位置所對應的數(shù)為-3+2×$\frac{4}{3}$=-$\frac{1}{3}$；
（3）①設點P出發(fā)y秒后，點P和點Q剛好相距1個單位長度，由題意得
y12y+y=4-1，
解得：y=$\frac{2}{3}$，
點P表示為-3+$\frac{2}{3}$×2=-$\frac{5}{3}$，點Q表示為1-（1+$\frac{2}{3}$）×1=-$\frac{2}{3}$，
設此時數(shù)軸上存在-個點C，點C表示的數(shù)為a，由題意得
AC+PC+QC=|a+3|+|a+$\frac{5}{3}$|+|a+$\frac{2}{3}$|，
要使|a+3|+|a+$\frac{5}{3}$|+|a+$\frac{2}{3}$|最小，當點C與P重合時，即a=-$\frac{5}{3}$時，點C，使其到點A、點P和點Q這三點的距離和最�。�
②若點P和點Q在相遇后相距1個單位長度，則2t=1×（t+1）=4+1
解得t=$\frac{4}{3}$
故P出發(fā)$\frac{4}{3}$秒后，點P和點Q也可相距1個單位長度
此時滿足條件的點C即點Q，所表示的數(shù)位-$\frac{4}{3}$
綜上所述，當P出發(fā)$\frac{2}{3}$秒或$\frac{4}{3}$秒時，P和Q相距1個單位長度，此時點C所表示的數(shù)分別為-$\frac{5}{3}$和-$\frac{4}{3}$

點評 此題考查一元一次方程的實際運用，利用數(shù)軸求得兩點之間的距離，根據(jù)行程問題得出基本數(shù)量關系是解決問題的關鍵．