Question

15．如圖，∠AOB=α，P在∠AOB內(nèi)，OP=2，M和N分別為OA，OB上一動點，當(dāng)△PMN的周長為最小值2時，α=30°．

Answer 1

分析 作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等邊三角形，據(jù)此即可求解．

解答 解：作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．
∵PC關(guān)于OA對稱，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP，
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB，OC=OD=OP=2．
∵CD=2，
∴△COD是等邊三角形．
∴∠COD=2∠AOB=60°，
∴∠AOB=30°，
∴α=30°，
故答案為30°．

點評 本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關(guān)鍵．