Question

4．如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀：等邊三角形；
（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)P位于$\widehat{AB}$的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀；
（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)點(diǎn)P為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)時(shí)，PE+CF=PC從而得出最大面積．

解答 證明：（1）△ABC是等邊三角形．
證明如下：在⊙O中
∵∠BAC與∠CPB是$\widehat{BC}$所對(duì)的圓周角，∠ABC與∠APC是$\widehat{AC}$所對(duì)的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如圖1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠ADC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）當(dāng)點(diǎn)P為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APBC的面積最大．
理由如下，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E．
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．
∵S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴S_{四邊形APBC}=$\frac{1}{2}$AB•（PE+CF），
當(dāng)點(diǎn)P為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)時(shí)，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，
∴此時(shí)四邊形APBC的面積最大．
又∵⊙O的半徑為1，
∴其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)AB=$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形APBC}=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式以及三角形的全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關(guān)鍵．