Question

15．已知，AB是圓O的直徑，取一把直角三角尺，按如圖位置擺放，其中直角頂點放在圓心O上，兩條直角邊與圓O相交于點M和點N，作ME⊥AB，垂足為點E，NF⊥AB，垂足為點F．
（1）試說明EF=ME+NF的理由．
（2）如果將這把直角三角尺繞圓心O旋轉（點M，N與點A，B都不重合），那么EF與ME，NF之間的數(shù)量關系是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請寫出它們的數(shù)量關系；如果不發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用HL證明△MOE≌△NOF，得到ME=OF，NF=OE，即可證明結論；
（2）運用類比思想，分別探究當E、F在點O兩側時和當E、F在點O同側時，三條線段的數(shù)量關系．

解答 解：（1）如圖1所示，
∵三角尺的兩條直角邊分別與⊙O交于M、N兩點；直角頂點在圓心O上，
∴OM=ON，∠MPN=90°，
∵ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠OEM=∠OFN=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△MOE≌△NOF（HL），
∴ME=OF，NF=OE，
∴EF=OE+OF=NF+ME；

（2）EF與ME、NF的數(shù)量關系發(fā)生變化
當E、F在點O兩側時，如圖1所示，EF=ME+NF；
當E、F在點O同側時，同（1）可證△MOE≌△NOF，
∴ME=OF，NF=OE，
如圖2所示，當OF＞OE時，EF=OF-OE=ME-NF，
如圖3所示，當OE＞OF時，EF=OE-OF=NF-ME．

點評 本題主要考查了三角形全等的判定與性質，運用類比思想探究E、F在不同位置三線段的數(shù)量關系如何變化．