Question

5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別為AC、AB的中點，延長BC到F使$CF=\frac{1}{2}BC$．
（1）求證：四邊形DECF是平行四邊形；
（2）求證：DF=EB．

Answer 1

分析 （1）DE是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，再由已知條件得出DE=CF，即可證出四邊形DECF是平行四邊形；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出DF=CE，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CE=$\frac{1}{2}$AB=EB，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵點D、E分別為AC、AB的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE∥CF，
∵CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=CF，
∴四邊形DECF是平行四邊形；
（2）證明：∵四邊形DECF是平行四邊形，
∴DF=CE，
∵∠ACB=90°，點E為AB的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=EB，
∴DF=EB．

點評 本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．