Question

10．如圖，拋物線y=-x²+4x+5與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點．△PCM是以CM為底的等腰三角形，則點P的坐標為（2+$\sqrt{6}$，3）；當a=$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$時，四邊形PMEF周長最�。�

Answer 1

分析 根據拋物線的解析式易求點C的坐標，再根據四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M₁（1，1）；作點M₁關于x軸的對稱點M₂，則M₂（1，-1）；連接PM₂，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM₂最�。�

解答 解：∵y=-x²+4x+5與y軸交于點C，
∴點C的坐標為（0，5）
又∵M（0，1），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，
∴點P的縱坐標為3．
令y=-x²+4x+5=3，解得x=2±$\sqrt{6}$．
∵點P在第一象限，∴P（2+$\sqrt{6}$，3）．
四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．（如圖所示）
將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M₁（1，1）；
作點M₁關于x軸的對稱點M₂，則M₂（1，-1）；
連接PM₂，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM₂最�。�
設直線PM₂的解析式為y=mx+n，將P（2+$\sqrt{6}$，3），M₂（1，-1）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{（2+\sqrt{6}）m+n=3}\\{m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4\sqrt{6}-4}{5}}\\{n=\frac{-4\sqrt{6}-1}{5}}\end{array}\right.$
∴y=$\frac{4\sqrt{6}-4}{5}$x-$\frac{4\sqrt{6}+1}{5}$．
當y=0時，解得x=$\frac{\sqrt{6}+5}{4}$．∴F（$\frac{\sqrt{6}+5}{4}$，0）．
∵a+1=，∴a=$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$．
∴a=$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$時，四邊形PMEF周長最小．
故答案為：（2+$\sqrt{6}$，3），$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$．

點評 本題是二次函數綜合題，用到的知識點等腰三角形的判定和性質、二元一次方程組的運用以及二次函數的最值和軸對稱-最短路線的性質．試題計算量偏大，注意認真計算．