Question

12．小明的數(shù)學(xué)探究小組進(jìn)行了系列探究活動(dòng)．
類比定義：類比等腰三角形給出如下定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做鄰等四邊形．
探索理解：
（1）如圖1，已知A、B、C在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，請你協(xié)助小明用兩種不同的方法畫出格點(diǎn)D，連接DA、DC，使四邊形ABCD為鄰等四邊形；

嘗試體驗(yàn)：
（2）如圖2，鄰等四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四邊形ABCD的面積．
解決應(yīng)用：
（3）如圖3，鄰等四邊形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．
小明爸爸所在的工廠，需要裁取某種四邊形的材料板，這個(gè)材料板的形狀恰巧是符合如圖3條件的鄰等四邊形，要求盡可能節(jié)約．你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請求出此時(shí)四邊形ABCD面積的最小值；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示；根據(jù)鄰等四邊形的定義作出圖形即可．
（2）如圖2中，連接AC，作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，求出BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，HC=$\sqrt{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=（2+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=7，分別求出△ABC，△ADC的面積即可解決問題．
（3）能．因?yàn)椤鰽DC是等邊三角形，所以可以將△BDC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△HDA，連接BH．由S_{四邊形ABCD}=S_△ADH+S_△ABD=S_△DBH-S_△ABH，可知當(dāng)△ABH面積最大時(shí)，四邊形ABCD的面積最小，只要求出△ABH的面積的最大值即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，

鄰等四邊形ABCD即為所求．

（2）如圖2中，連接AC，作CH⊥AB于H．

在Rt△BCH中，∵BC=1，∠CBH=180°-∠ABC=180°-120°=60°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，HC=$\sqrt{3}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ACH中，AC²=AH²+CH²=（2+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=7，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC²=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACB+S_△ADC=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

（3）能．如圖3中，∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等邊三角形，將△BDC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△HDA，連接BH．

∵DB=DH，∠HDB=60°，
∴△HDB是等邊三角形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ADH+S_△ABD=S_△DBH-S_△ABH，
∴當(dāng)△ABH面積最大時(shí)，四邊形ABCD的面積最小，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAD+∠BCD=∠BAD+∠DAH=360°-75°-60°=225°，
∴∠BAH=135°，
∵BH=DB=4，
∴點(diǎn)A在定圓⊙O上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O、A、D共線時(shí)，△ABH的面積最大，此時(shí)OD⊥BH，設(shè)OA交BH于K，則HK=KB=2，
∵AH=AB，
∴∠AHB=∠ABH=22.5°，在HK上取一點(diǎn)F，使得FH=FA，則△AKF是等腰直角三角形，設(shè)AK=FK=x，則FH=AF=$\sqrt{2}$x，
∴2=x+$\sqrt{2}$x，
∴x=2$\sqrt{2}$-2，
∴△ABH的面積最大值=$\frac{1}{2}$•4•（2$\sqrt{2}$-2）=4$\sqrt{2}$-4，
∴四邊形ABCD的面積的最小值=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²-（4$\sqrt{2}$-4）=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$+4．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)、圓等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決最值問題，屬于中考壓軸題．