Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（-1，0）、點B（3，0）、點C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AC、CD、BD，試比較∠BCA與∠BDC的大小，并說明理由；
（3）若在x軸上有一動點M，在拋物線y=ax²+bx+c上有一動點N，則M、N、B、C四點是否能構(gòu)成平行四邊形？若存在，請求出所有適合的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，然后轉(zhuǎn)化成頂點式即可求得頂點坐標(biāo)；
（2）連結(jié)BC，根據(jù)點A（-1，0），C（0，3）、B（3，0）、D（1，4）的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求得CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，CB=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，因為OA=1，OC=3，所以$\frac{CD}{OA}$=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{BD}{AC}$=$\sqrt{2}$，根據(jù)三角形相似的判定即可得出△CDB∽△OAC，從而求得∠BAC=∠BDC，然后根據(jù)勾股定理求得BC=3$\sqrt{2}$，AB=4，得出∠BCA＜∠BAC，進而得出∠BCA＜∠BDC．
（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（t，0），若能構(gòu)成平行四邊形時點N的坐標(biāo)有三種可能，分別討論即可求得M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，

∵點A、B、C在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴此拋物線為：y=-x²+2x+3；
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（1，4）． 
（2）連接BC，如圖2，

由點C（0，3）、B（3，0）、D（1，4）
可得CD=$\sqrt{（0-1）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
由點C（0，3）、A（-1，0），可得AC=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{CD}{OA}$=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{BD}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∴△CDB∽△OAC，
∴∠BAC=∠BDC．
∵BC=3$\sqrt{2}$，AB=4，
∴BC＞AB，
∴∠BCA＜∠BAC，
∴∠BCA＜∠BDC．
（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為（t，0）
則由C（0，3）、B（3，0）、M（t，0）如圖3，
若能構(gòu)成平行四邊形時點N的坐標(biāo)有三種可能，
分別是（3-t，3），（t-3，3），（t+3，-3），
∵點N在拋物線y=-x²+2x+3上
把（3-t，3）代入得，3=-（3-t）²+2（3-t）+3，
解得t=1或t=3（點M與點B重合，舍去）；
把（t-3，3）代入得，3=-（t-3）²+2（t-3）+3，
解得t=5或t=3（點M與點B重合，舍去）；
把（t+3，-3）代入得，-3=-（t+3）²+2（t+3）+3，
解得t=-2+$\sqrt{7}$或t=-2-$\sqrt{7}$．
綜上可知，M的坐標(biāo)為（1，0）、（5，0）、（-2+$\sqrt{7}$，0）、（-2-$\sqrt{7}$，0）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的判定等，分類討論的思想是（3）的關(guān)鍵．