Question

18．如圖，PD為⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB，PE為∠DPB的角平分線，交AC于E，交BC于F，求證：∠EOF=90°．

Answer 1

分析 如圖，過C作CQ∥AB，交PF的延長線于Q，交PD的延長線于R，證得CQ是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得到RC=RD，根據(jù)平行線和角平分線得到∠Q=∠DPQ，證得DP=CQ，通過△CEQ∽△AEP，△CQF∽△BFP，得到$\frac{AE}{EC}=\frac{PA}{CQ}$，$\frac{CF}{FB}=\frac{CQ}{PB}$，根據(jù)切割線定理得到PD²=PA•PB，化為$\frac{PA}{CQ}=\frac{CQ}{PB}$，等量代換得到$\frac{AE}{CE}=\frac{CF}{FB}$，根據(jù)合比性質(zhì)得$\frac{AE}{AC}=\frac{CF}{BC}$，推出△AEO≌△OCF，即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，過C作CQ∥AB，交PF的延長線于Q，交PD的延長線于R，
∵OC⊥AB，
∴CQ⊥OC，
∴CQ是⊙O的切線，
∴RC=RD，
∵CQ∥AB，
∴∠Q=∠DPQ，
∵∠DPQ=∠BPQ，
∴∠Q=∠DPQ，
∴DP=CQ，
∵CQ∥AB，
∴△CEQ∽△AEP，△CQF∽△BFP，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{PA}{CQ}$，$\frac{CF}{FB}=\frac{CQ}{PB}$，
∵PD²=PA•PB，
∴$\frac{PA}{CQ}=\frac{CQ}{PB}$，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{CF}{FB}$，
根據(jù)合比性質(zhì)得$\frac{AE}{AC}=\frac{CF}{BC}$，
而AC=BC，
∴AE=CF，∠CAB=∠BCO=45°，
在△AEO與△OCF中$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△OCF，
∴∠AOE=∠COF，
∴∠AOE+∠EOC=∠FOC+∠EOC=90°，
∴∠EOF=90°．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．