Question

15．閱讀以下材料：對于三個數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個數(shù)中最小的數(shù)．例如：M{-1，2，3}=$\frac{-1+2+3}{3}$=$\frac{4}{3}$；min{-1，2，3}=-1；min{-1，2，a}=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≤-1）}\\{-1（a＞-1）}\end{array}\right.$
解決下列問題：
（1）min{ sin30°，tan45°，cos30°}$\frac{1}{2}$若min{2，2x+2，4-2x}=2，則x的范圍為0≤x≤1；
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x；
②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么a=b=c（填a，b，c的大小關(guān)系）”．并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
③運(yùn)用②的結(jié)論，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，則x+y=4．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)橛胢in（a，b，c）表示這三個數(shù)中最小的數(shù)，由min{2，2x+2，4-2x}=2，得出2x+2≥2，且4-2x≥2，兩個式子同時成立，據(jù)此即可求得x的范圍；
（2）①M(fèi){2，x+1，2x}=x+1，若M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，則x+1是2、x+1、2x中最小的一個，即：x+1≤2且x+1≤2x，據(jù)此即可求得x的值；
②根據(jù)①可以得到結(jié)論：當(dāng)三個數(shù)的平均數(shù)等于三個數(shù)中的最小的數(shù)，則這幾個數(shù)相等，據(jù)此即可寫出；
③根據(jù)結(jié)論，三個數(shù)相等，即可求得x，y的值，從而求得x+y的值；

解答 解：（1）min{ sin30°，tan45°，cos30°}=$\frac{1}{2}$；
由min{2，2x+2，4-2x}=2，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2≥2}\\{4-2x≥2}\end{array}\right.$，即0≤x≤1．

（2）①∵M(jìn){2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤2x}\\{x+1≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x≤1}\end{array}\right.$，
∴x=1
②證明：由M{a，b，c}=min{a，b，c}，可令$\frac{a+b+c}{3}$，即b+c=2a⑤；
又∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+b+c}{3}≤b}\\{\frac{a+b+c}{3}≤c}\end{array}\right.$，
解得：a+c≤2b ⑥，a+b≤2c⑦；
由⑤⑥可得c≤b；
由⑤⑦可得b≤c；
∴b=c；
將b=c代入⑤得c=a；
∴a=b=c．
③據(jù)②可得$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+2=x+2y}\\{2x+y+2=2x-y}\end{array}\right.$，
解得y=-1，x=-3，
∴x+y=-4．

點(diǎn)評 本題考查一元一次不等式組的實(shí)際運(yùn)用，解決的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意結(jié)合方程和不等式去求解，綜合運(yùn)用知識解決問題．