Question

9．已知在△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，CE、AD分別為∠C、∠A的角平分線，求證：EF=FD．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出∠AFE=60°，∠AFC=120°，在AC上截取AG=AE，利用“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AFG=∠AFE，全等三角形對應(yīng)邊相等可得FE=FG，然后求出∠CFG=∠CFD=60°，再利用“角邊角”證明△CDF和△CGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FD=FG，從而得證．

解答 證明：∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，
∵AD、CE分別平分∠BAC與∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠AFE=60°，∠AFC=120°，
如圖，在AC上截取AG=AE，
則在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFG=∠AFE=60°，F(xiàn)E=FG，
∴∠CFG=∠CFD=60°，
在△CDF和△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFG=∠CFD}\\{CF=CF}\\{∠ACE=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CGF（ASA），
∴FD=FG，
∴FE=FD．

點(diǎn)評 本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造成兩對全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．