Question

10．如圖，在△ABC中，AE是它的角平分線，∠C=90°，∠B=30°，D在AB邊上，AD=4，以AD為直徑的圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠OEA，進(jìn)而得出∠OEB=90°，即可得出答案；
（2）首先求出EO，BE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用陰影部分的面積=S_△EOB-S_扇形EOD，進(jìn)而得出答案．

解答 （1）證明：連接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∵AO=EO，
∴∠OAE=∠AEO，
∴∠CAE=∠OEA，
∴AC∥EO，
∵∠C=90°，
∴∠OEB=90°，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠B=30°，∠OEB=90°，
∴EO=$\frac{1}{2}$BO，∠EOB=60°，
∵AD=4，
∴EO=2，DO=2，
∴BO=4，
∴BE=2$\sqrt{3}$，
圖中陰影部分的面積為：$\frac{1}{2}$×EO×BE-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及扇形面積求法，正確得出BE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．