Question

11．如圖，已知AC垂直平分BD，∠ABC=∠DAF，DF⊥BD
（1）證明：四邊形ACDF是平行四邊形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，試求CD和BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定和性質、平行線的性質得出AF∥CD，進而利用平行四邊形的判定解答即可；
（2）根據(jù)平行四邊形和菱形的性質分析，再根據(jù)勾股定理解答即可．

解答 （1）證明：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=DC，
又∵AC=AC，
在△ABC與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC=∠DAF，
∴∠ADC=∠DAF，
∴AF∥CD，
∵AC⊥BD，DF⊥BD，
∴DF∥AC，
∴四邊形ACDF是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形ACDF是平行四邊形，AF=DF=5，
∴?ACDF是菱形，
∴CD=AC=5，
∵AD=6，設CE=x，則AE=5-x，
∴CD²-CE²=AD²-AE²
即5²-x²=6²-（5-x）²
解得：x=$\frac{7}{5}$，即CE=$\frac{7}{5}$，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}=\frac{24}{5}$，
∴BD=2DE=$\frac{48}{5}$．

點評 此題考查平行四邊形的判定和性質，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定和平行四邊形的判定分析．