Question

6．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設過點A，B，C的圓與y軸的另一個交點為D．已知點A，B，C的坐標分別為（-2，0），（8，0），（0，-4）．
（1）求此拋物線的表達式與點D的坐標；
（2）若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°，由圓周角定理得AB為圓的直徑，再由垂徑定理知點C、D關于AB對稱，由此得出點D的坐標；
（2）求出△BDM面積的表達式，再利用二次函數(shù)的性質求出最值．解答中提供了兩種解法，請分析研究．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}4a-2b+c=0\\ 64a+8b+c=0\\ c=-4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{4}\\ b=-\frac{3}{2}\\ c=-4\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；
∵OA=2，OB=8，OC=4，
∴AB=10．
如答圖1，連接AC、BC，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{20}$，BC=$\sqrt{80}$．
∵AC²+BC²=AB²=100，
∴∠ACB=90°，
∴AB為圓的直徑．
由垂徑定理可知，點C、D關于直徑AB對稱，
∴D（0，4）；

（2）解法一：
設直線BD的解析式為y=kx+b，
∵B（8，0），D（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}8k+b=0\\ b=4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=4\end{array}\right.$，
∴直線BD解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+4．
設M（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），
如答圖2-1，過點M作ME∥y軸，交BD于點E，則E（x，-$\frac{1}{2}$x+4）．
∴ME=（-$\frac{1}{2}$x+4）-（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4）=-$\frac{1}{4}$x²+x+8．
∴S_△BDM=S_△MED+S_△MEB=$\frac{1}{2}$ME（x_E-x_D）+$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_E）=$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_D）=4ME，
∴S_△BDM=4（-$\frac{1}{4}$x²+x+8）=-x²+4x+32=-（x-2）²+36．
∴當x=2時，△BDM的面積有最大值為36；
解法二：
如答圖2-2，過M作MN⊥y軸于點N．
設M（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
∵S_△OBD=$\frac{1}{2}$OB•OD=$\frac{1}{2}$=16，
S_梯形OBMN=$\frac{1}{2}$（MN+OB）•ON
=$\frac{1}{2}$（m+8）[-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）]
=-$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）-4（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
S_△MND=$\frac{1}{2}$MN•DN
=$\frac{1}{2}$m[4-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）]
=2m-$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），
∴S_△BDM=S_△OBD+S_梯形OBMN-S_△MND
=16-$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）-4（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）-2m+$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）
=16-4（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）-2m
=-m²+4m+32
=-（m-2）²+36；
∴當m=2時，△BDM的面積有最大值為36．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求解析式，直角三角形的判定及性質，圖形面積計算，三角形相似的判定和性質，二次函數(shù)的系數(shù)與x軸的交點的關系等，在解答此題時要注意構造出輔助線，利用勾股定理求解．