Question

13．已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位速度從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以每秒4個(gè)單位速度從A點(diǎn)出發(fā)沿正方形的邊AD-DC-CB方向順時(shí)針作折線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連接PA，當(dāng)以點(diǎn)Q及正方形的某兩個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形和△PAB全等時(shí)，則t為$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{5}$，$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 分點(diǎn)Q在AD，DC，CB邊上這幾種情況進(jìn)行討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而列出方程求得t的值．

解答 解：當(dāng)Q在DA上時(shí)，如圖所示：

此時(shí)△APB≌△CQD，
∴BP=DQ，即t=4-4t，
解得t=$\frac{4}{5}$；
當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，有兩個(gè)位置，如圖所示：

若Q在上邊，則△QAD≌△PA，
∴BP=QD，即4t-4=t，
解得t=$\frac{4}{3}$；
若Q在下邊，則△APB≌△BQC，
則BP=CQ，即8-4t=t，
解得t=$\frac{8}{5}$；
當(dāng)Q在AB邊上時(shí)，如圖所示：

此時(shí)△APB≌△DQC，
∴BP=CQ，即4t-8=t，解得t=$\frac{8}{3}$，
因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，
所以0≤t≤$\frac{12}{5}$，所以t=$\frac{8}{3}$不合題意；
當(dāng)P、Q在BC上重合時(shí)，△ABP和△ABQ全等，如圖所示：

∴此時(shí)，t=$\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{5}$，$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要對(duì)點(diǎn)Q的不同位置進(jìn)行分類討論，以防漏解，該題綜合性較強(qiáng)．