Question

9．已知拋物線y=（x-m）²-（x-m），其中m是常數(shù)．
（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）若該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$．
①求該拋物線的函數(shù)解析式；
②把該拋物線沿y軸向上平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）先把拋物線解析式化為一般式，再計(jì)算△的值，得到△=1＞0，于是根據(jù)△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）①根據(jù)對(duì)稱軸方程得到=-$\frac{-（2m+1）}{2}$=$\frac{5}{2}$，然后解出m的值即可得到拋物線解析式；
②根據(jù)拋物線的平移規(guī)律，設(shè)拋物線沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則平移后拋物線解析式為y=x²-5x+6+k，再利用拋物線與x軸的只有一個(gè)交點(diǎn)得到△=5²-4（6+k）=0，
然后解關(guān)于k的方程即可．

解答 （1）證明：y=（x-m）²-（x-m）=x²-（2m+1）x+m²+m，
∵△=（2m+1）²-4（m²+m）=1＞0，
∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）解：①∵x=-$\frac{-（2m+1）}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴m=2，
∴拋物線解析式為y=x²-5x+6；
②設(shè)拋物線沿y軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則平移后拋物線解析式為y=x²-5x+6+k，
∵拋物線y=x²-5x+6+k與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=5²-4（6+k）=0，
∴k=$\frac{1}{4}$，
即把該拋物線沿y軸向上平移$\frac{1}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．