Question

8．已知直線OA的解析式為y₁=kx，且這條直線與x軸的正半軸的夾角為30°，y₂=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1）或（-$\sqrt{3}$，-1）
• B． 當(dāng)x＞$\sqrt{3}$時，y₂＞y₁
• C． 當(dāng)x=1時，BC=2$\sqrt{3}$
• D． 當(dāng)x=1時，△ABC的面積為1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作AD⊥x軸于D，如圖，設(shè)A（t，$\frac{\sqrt{3}}{t}$）（t＞0），在Rt△OAD中，根據(jù)正切的定義可得$\frac{\frac{\sqrt{3}}{t}}{t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得t=$\sqrt{3}$，則兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為A（$\sqrt{3}$，1），反比例函數(shù)圖象只在第一象限，于是可對A進(jìn)行判斷；觀察函數(shù)圖象，當(dāng)x＞$\sqrt{3}$時，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象的上方，則可對B進(jìn)行判斷；利用待定系數(shù)法求出OA的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，則易得B（1，$\sqrt{3}$）和C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），于是計算出BC的長，則可對C進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形面積公式可對D進(jìn)行判斷．

解答 解：作AD⊥x軸于D，如圖，
設(shè)A（t，$\frac{\sqrt{3}}{t}$）（t＞0），
在Rt△OAD中，∵tan∠AOD=tan30°=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{t}}{t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，1），所以A選項錯誤；
當(dāng)x＞$\sqrt{3}$時，y₁＞y₂，所以B選項錯誤；
把A（$\sqrt{3}$，1）代入y=kx得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則直線OA的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
當(dāng)x=1時，y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$=$\sqrt{3}$，則B（1，$\sqrt{3}$）；當(dāng)x=1時，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴BC=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以C選項錯誤；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$-1）×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以D選項正確．
故選D．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了三角形面積公式．