Question

13．如圖，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C（1，a）為OA的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，且∠AOD=∠BOD，則k=（　　）

• A． 8
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由點(diǎn)C的坐標(biāo)結(jié)合△AOB為直角三角形可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出$\frac{BD}{AD}$=$\frac{OB}{OA}$，由此可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于a的方程，解之即可得出a、k的值．

解答 解：∵點(diǎn)C（1，a）為OA的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（2，2a），OA=2$\sqrt{1+{a}^{2}}$．
∵∠ABO=90°，
∴點(diǎn)B（2，0），OB=2，AB=2a．
∵∠AOD=∠BOD，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{OB}{OA}$，即BD=$\frac{OB•AD}{OA}$=$\frac{2×（2a-BD）}{2\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
∴BD=$\frac{2（\sqrt{1+{a}^{2}}-1）}{a}$，
∴點(diǎn)D（2，$\frac{2（\sqrt{1+{a}^{2}}-1）}{a}$）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)C、D，
∴k=1×a=2×$\frac{2（\sqrt{1+{a}^{2}}-1）}{a}$，
整理得：$\sqrt{1+{a}^{2}}$=3，
解得：a=2$\sqrt{2}$或a=-2$\sqrt{2}$（舍去），
∴k=a=2$\sqrt{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、直角三角形以及角平分線，用含a的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．