Question

4．如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，連接EP，AD．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，∠B=30°，求P點(diǎn)到直線AD的距離．

Answer 1

分析 （1）連接FO，由F為BC的中點(diǎn)，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據(jù)OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)P點(diǎn)到直線AD的距離為d，記△PAD的面積S_△PAD，根據(jù)三角形的面積得到d=$\frac{PD•AC}{AD}$  ①由勾股定理得BC=6$\sqrt{3}$，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OPC=∠B=30°，推出△OEA為等邊三角形，得到∠EOA=60°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，將以上數(shù)據(jù)代入①得即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接CE，如圖所示：
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°．
∴∠BEC=90°．
∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，
∴EF=BF=CF．
∴∠FEC=∠FCE．
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE．
∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)P點(diǎn)到直線AD的距離為d，記△PAD的面積S_△PAD，
則有：S_△PAD=$\frac{1}{2}$AD•d=$\frac{1}{2}$PD•AC，
∴d=$\frac{PD•AC}{AD}$  ①
∵⊙O的半徑為3，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，AC=6，AB=12，
由勾股定理得BC=6$\sqrt{3}$，
∴PC=3$\sqrt{3}$，
∵O，P分別是AC，BC的中點(diǎn)，
∴OP∥AB，
∴∠OPC=∠B=30°，
∵OE=OA，∠OAE=60°，
∴△OEA為等邊三角形，
∴∠EOA=60°，
∴∠ODC=90°-∠COD=90°-∠EOA=30°，
∴∠ODC=∠OPC=30°，
∴OP=OD，
∵OC⊥PD，
∴CD=PC=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
將以上數(shù)據(jù)代入①得：d=$\frac{PD•AC}{AD}$=$\frac{6\sqrt{3}×6}{3\sqrt{7}}$=$\frac{12\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．