Question

15．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B=60°，AC⊥AB，點E在BC上，點F在CD上，滿足∠EAF=60°，AE=7，BE：EC=5：11，則DF=6．

Answer 1

分析 先過點A作AH⊥BC于H，設(shè)BE=5x，EC=11x，得到BH=4x，AH=4$\sqrt{3}$x，HE=x，在Rt△AEH中，由勾股定理可得AH²+HE²=AE²，根據(jù)（4$\sqrt{3}$x）²+x²=7²，解得x=1，進而得到AH=4$\sqrt{3}$，HE=1，AB=8，AC=8$\sqrt{3}$，再判定△AHE∽△ACF，根據(jù)$\frac{AH}{AC}$=$\frac{HE}{CF}$，可得$\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}$=$\frac{1}{CF}$，即可得到CF=2，再根據(jù)DF=CD-CF進行計算即可．

解答 解：如圖，過點A作AH⊥BC于H，

設(shè)BE=5x，EC=11x，
在Rt△ABC中，∵∠B=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=8x，AC=8$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABH中，∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=4x，AH=4$\sqrt{3}$x，HE=BE-BH=x，
在Rt△AEH中，由勾股定理可得AH²+HE²=AE²，
即（4$\sqrt{3}$x）²+x²=7²，
解得x=1，
∴AH=4$\sqrt{3}$，HE=1，AB=8，AC=8$\sqrt{3}$，
∵平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ACF=∠BAC=∠AHE=90°，CD=8，
∵∠EAF=60°，∠HAC=90°-30°=60°，
∴∠HAE=∠CAF，
又∵∠AHE=∠ACF，
∴△AHE∽△ACF，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{HE}{CF}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}$=$\frac{1}{CF}$，
∴CF=2，
∴DF=CD-CF=8-2=6，
故答案為：6．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形及直角三角形，依據(jù)勾股定理列方程求解，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行計算．