Question

1．如圖，矩形OABC在平面直角坐標系中，A、C兩點的坐標分別為A（6，0），C（0，-3），直線y=-$\frac{3}{4}$x與BC邊相交于D點，過原點的拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A、D兩點．
（1）求拋物線的解析式，并寫出對稱軸；
（2）試判斷△OCD與△ABD是否相似？并說明理由．
（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得△POD為直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐標（并在“備用圖”中畫出P點得到的痕跡）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA∥BC，得到D點的縱坐標為-3，求得D（4，-3），把A（6，0），D（4，-3）代入y=ax²+bx即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)P（3，m），根據(jù)勾股定理得到OP²=9+m²，PD²=（4-3）²+（-3-m）²=m²+6m+10，OD²=3²+4²=25，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∵C（0，-3），
∴D點的縱坐標為-3，
∵直線y=-$\frac{3}{4}$x與BC邊相交于D點，
∴D（4，-3），
把A（6，0），D（4，-3）代入y=ax²+bx得，$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b=0}\\{16a+4b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{8}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{9}{4}$x，其對稱軸為直線x=3；
（2）∵OC=3，CD=4，
∴AB=OC=3，BD=2，
∵$\frac{OC}{CD}=\frac{3}{4}$，$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OC}{CD}≠\frac{BD}{AB}$，
∴△OCD與△ABD不相似；
（3）設(shè)P（3，m），
∴OP²=9+m²，PD²=（4-3）²+（-3-m）²=m²+6m+10，OD²=3²+4²=25，
∴①當(dāng)OP²+PD²=OD²時，
即9+m²+m²+6m+10=25，
解得：m=$\frac{-3±\sqrt{21}}{2}$，
②當(dāng)OP²+OD²=PD²時，
即9+m²+25=m²+6m+10，
解得：m=4，
③當(dāng)OP²=OD²+PD²時，
即9+m²=m²+6m+10+25，
解得：m=-$\frac{13}{3}$，
∴點P的坐標為：（3，$\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$），（3，$\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$），（3，4），（3，-$\frac{13}{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系是求點與坐標軸的交點坐標的關(guān)鍵，待定系數(shù)求函數(shù)解析式，相似三角形的判定：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；勾股定理的應(yīng)用．