Question

11．如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長AP交CD于F點，
（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；
（2）若△AEP是等邊三角形，連結(jié)BP，求證：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的邊AB=6，BC=4，求△CPF的面積．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)得到BE=PE，EC與PB垂直，根據(jù)E為AB中點，得到AE=EB=PE，利用三角形內(nèi)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形為直角三角形，得到∠APB為90°，進(jìn)而得到AF與EC平行，再由AE與FC平行，利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；
（2）根據(jù)三角形AEP為等邊三角形，得到三條邊相等，三內(nèi)角相等，再由折疊的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角定義得到一對角相等，根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得證；
（3）過P作PM⊥CD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的長，利用面積法求出BQ的長，根據(jù)BP=2BQ求出BP的長，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的長，根據(jù)AF-AP求出PF的長，由PM與AD平行，得到三角形PMF與三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的長，再由FC=AE=3，求出三角形CPF面積即可．

解答 （1）證明：由折疊得到BE=PE，EC⊥PB，
∵E為AB的中點，
∴AE=EB=PE，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC，
∵AE∥FC，
∴四邊形AECF為平行四邊形；

（2）∵△AEP為等邊三角形，
∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，
∵∠PEC=∠BEC，
∴∠PEC=∠BEC=60°，
∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，
∴∠BAP=∠BEQ，
在△ABP和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠EBC=90°}\\{∠BAP=∠BEQ}\\{AP=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△EBC（AAS），
∵△EBC≌△EPC，
∴△ABP≌△EPC；

（3）過P作PM⊥DC，交DC于點M，
在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，
根據(jù)勾股定理得：EC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$EB•BC=$\frac{1}{2}$EC•BQ，
∴BQ=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
由折疊得：BP=2BQ=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABP中，AB=6，BP=$\frac{24}{5}$，
根據(jù)勾股定理得：AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∵四邊形AECF為平行四邊形，
∴AF=EC=5，F(xiàn)C=AE=3，
∴PF=5-$\frac{18}{5}$=$\frac{7}{5}$，
∵PM∥AD，
∴$\frac{PF}{AF}$=$\frac{PM}{AD}$，即$\frac{\frac{7}{5}}{5}$=$\frac{PM}{4}$，
解得：PM=$\frac{28}{25}$，
則S_△PFC=$\frac{1}{2}$FC•PM=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{28}{25}$=$\frac{42}{25}$．

點評 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形為直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積求法，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．