Question

17．已知△ABC，O為AC中點，點P在AC上，若OP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，tan∠A=$\frac{1}{2}$，∠B=120°，BC=2$\sqrt{3}$，則AP=2$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作CD⊥AB的延長線于D，求得∠CBD=60°，解直角三角形求得DC=3，進而求得AD=6，根據(jù)勾股定理求得AC=3$\sqrt{5}$，即可求得AO=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，然后求得AP=2$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}$．

解答 解：作CD⊥AB的延長線于D，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBD=60°，
∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴DC=BC•sin60°=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∵tan∠A=$\frac{1}{2}$，
∴AD=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，
∵OP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AP=2$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}$．
故答案為2$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．