Question

2．如圖，已知△ABC中，∠BAC=90°，四邊形PQMN是內(nèi)接正方形．
（1）求證：PQ²=BQ•CM；
（2）若BQ=16，CM=9，求正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形知PQ=MN，再證△CMN∽△PQB可得$\frac{CM}{PQ}$=$\frac{MN}{BQ}$，即$\frac{CM}{PQ}=\frac{PQ}{BQ}$，即可得出答案；
（2）將BQ=16、CM=9代入PQ²=BQ•CM即可得出答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CMN=∠PQB=90°，PQ=MN，
∴∠C+∠CNM=90°，
又∵∠C+∠B=90°，
∴∠CNM=∠B，
則△CMN∽△PQB，
∴$\frac{CM}{PQ}$=$\frac{MN}{BQ}$，即$\frac{CM}{PQ}=\frac{PQ}{BQ}$，
則PQ²=BQ•CM；

（2）當(dāng)BQ=16、CM=9時(shí)，
由PQ²=BQ•CM可得PQ²=16×9=144，
∵PQ＞0，
∴PQ=12，即正方形的邊長(zhǎng)為12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定、性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．