Question

5．如圖，∠AOB=60°，∠POQ=30°，OQ=2，OP=3，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上，則PN+MN+QM的最小值為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，作點(diǎn)Q關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接P′Q′分別交OA，OB于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)M，N即為所求，然后由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：OQ′=OQ=2，OP=OP′=3，∠Q′OM=∠QOM，∠P′ON=∠PON，求得∠Q′OP′=90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，作點(diǎn)Q關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接P′Q′分別交OA，OB于點(diǎn)M、N，
則線段P′Q′的長(zhǎng)度就是PN+MN+QM的最小值，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：OQ′=OQ=2，OP=OP′=3，
∠Q′OM=∠QOM，∠P′ON=∠PON，
∵∠AOB=60°，∠POQ=30°，
∴∠MOQ+∠P′ON=30°，
∴∠Q′OM+∠P′ON=30°，
∴∠Q′OP′=90°，
∴Q′P′=$\sqrt{OQ{′}^{2}+OP{′}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴PN+MN+QM的最小值為$\sqrt{13}$．
故答案為：$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．