Question

16．如圖，圖（1）和圖（2）都是7×7正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長是1，請按要求畫出下列圖形，所畫圖形的各個頂點均在所給小正方形的頂點上．
（1）在圖（1）中畫出一個以AB為一邊的直角三角形ABC，使△ABC的面積為15，并直接寫出tan∠ABC的值；
（2）在圖（2）中，沿著平行四邊形CDEF的任意一個頂點畫一條線段將其分成兩部分，再將這兩部分拼成一個等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先畫出圖形，利用勾股定理分別計算三邊的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出所畫的△ABC是直角三角形，并計算tan∠ABC的值；
（2）圖2中，S_{平行四邊形ABCD}=4×2=8，可設(shè)新構(gòu)成的等腰直角三角形的直角邊長為a，則$\frac{1}{2}{a}^{2}$=8，a=±4，即拼成的新等腰直角三角形的邊長為4，由此可作直線l，并注意有兩個角是45°，則兩個三角形組成一個等腰直角三角形．

解答 解：（1）如圖1所示：

由勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$，
AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
BC=$\sqrt{{7}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
∵AC²+AB²=20+45=65，BC²=65，
∴AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$3\sqrt{5}$=15，
tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2}{3}$；

（2）如圖2，

過E作直線l⊥CF，交CF于H，將△FHE剪下放在△CGH上，則△DGE是等腰直角三角形；
根據(jù)SAS易證明△CGH≌△FEH，且∠CGH=∠FEH=45°，
∵∠DCH+∠GCH=135°+45°=180°，
∴D、C、G三點共線，
∴△DGE是等腰直角三角形．

點評 本題考查了勾股定理及其逆定理、三角函數(shù)和圖形的剪拼，熟練掌握三角形和平行四邊形的面積及等腰直角三角形的判定是關(guān)鍵，還要注意到已知中的平行四邊形的特點．