Question

8．已知，二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（4，0），且與y軸交于點C．
（1）求二次函數(shù)的解析式，并求出對稱軸；
（2）設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點D，求點D的坐標(biāo)；
（3）點E（m，n）在拋物線上，且1＜m＜4，且∠EBC=∠OAC，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象經(jīng)過點A（1，0）、點B（4，0），根據(jù)待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)不在同一條直線上的三點確定圓的條件，可得答案．
（3）先延長CA，BE，交于點F，根據(jù)直線AC：y=2x-2，設(shè)F（x，2x-2），再根據(jù)△FAB∽FBC，得到FB²=FA•FC，據(jù)此列出關(guān)于x 方程，求得點F的坐標(biāo)，最后根據(jù)直線BF的解析式以及二次函數(shù)解析式，通過解方程組，求得點E的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象經(jīng)過點A（1，0）、點B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）如圖1，
BA的中垂線是x=$\frac{1+4}{2}$=$\frac{5}{2}$，
由B（4，0），C（0，-2）得
E點坐標(biāo)為（2，-1），
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B，C點代入函數(shù)解析式，得
y=$\frac{1}{2}$x-2，
DE的解析式為y=-2x+b，將E點坐標(biāo)代入，得
y=-2x+3，
當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時，y=-2×$\frac{5}{2}$+3=-2，
即D點坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-2）；

（3）如圖所示，
延長CA，BE，交于點F，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（1，0）、C（0，-2）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴AC：y=2x-2，
設(shè)點F的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為2x-2，即F（x，2x-2），
∵A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴BF=$\sqrt{（4-x）^{2}+（2x-2）^{2}}$，AF=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x-2）^{2}}$，F(xiàn)C=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-2+2）^{2}}$，
∵∠BAF=∠OAC=∠FBC，∠F=∠F，
∴△FAB∽FBC，
∴$\frac{FA}{FB}$=$\frac{FB}{FC}$，即FB²=FA•FC，
∴（$\sqrt{（4-x）^{2}+（2x-2）^{2}}$）²=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x-2）^{2}}$×$\sqrt{{x}^{2}+（2x-2+2）^{2}}$，
解得x=$\frac{20}{11}$，
∴F（$\frac{20}{11}$，$\frac{18}{11}$），
設(shè)直線BF的解析式為y=mx+n，則
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{11}m+n=\frac{18}{11}}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BF的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{8}}\end{array}\right.$，
∴點E的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是求BC的中垂線；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于x的方程，又利用解方程組得出E點坐標(biāo)．