Question

5．如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，0），
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）如圖1，將拋物線C₁向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到拋物線C₂，直線y=x+c，經(jīng)過點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)A，交拋物線C₂于點(diǎn)B，拋物線C₂的頂點(diǎn)為P，求△DBP的面積；
（3）如圖2，連結(jié)AP，過點(diǎn)B作BC⊥AP于C，設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試問：當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BCF的面積為$\frac{8}{3}$？

Answer 1

分析 （1）已知頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為：y=a（x-1）²，將點(diǎn)（0，1）代入即可；
（2）根據(jù)平移規(guī)律求出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即P（2，-1），根據(jù)頂點(diǎn)式，得平移后拋物線解析式y(tǒng)=（x-2）²-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面積；
（3）過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，△BCF的面積為$\frac{8}{3}$，可得$\frac{1}{2}FC•BC=\frac{8}{3}$，進(jìn)而可得$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{t}$×4=$\frac{8}{3}$，求出t，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 （1）解：∵拋物線頂點(diǎn)為D（1，0），經(jīng)過點(diǎn)（0，1）
∴可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，將點(diǎn)（0，1）代入，得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；

（2）就；根據(jù)題意，平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)P（2，-1）
∴拋物線的解析式為：y=（x-2）²-1，
∴A（0，-1），B（4，3），
∴S_△DBP=3；

（3）證明：過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（t，t²-4t+3），則QN=4-t．
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴$\frac{QN}{FC}$=$\frac{BN}{BC}$，
即$\frac{4-t}{FC}$=$\frac{3-（{t}^{2}-4t+3）}{4}$，
得FC=$\frac{4}{t}$，
又∵AC=4，S_△BCF=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{2}FC•BC=\frac{8}{3}$，
即$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{t}$×4=$\frac{8}{3}$，
解得t=3，
∴Q（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合能力培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來．