Question

15．如圖1是邊長為a的正三角形，在圖1中剪去一個面積最大的矩形得圖2，在圖2的陰影部分中再分別剪去一個面積最大的矩形得圖3…依此類推，則第n個圖形中陰影部分的面積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n-1}}{a}^{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}{a}^{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n+1}}{a}^{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n+2}}{a}^{2}$

Answer 1

分析 如圖1，先求出邊長為a的等邊三角形的面積為：S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×a=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}{a}^{2}$，即是圖1陰影圖形的面積；
如圖2，根據(jù)相似表示出內(nèi)接矩形的面積，由二次函數(shù)的最值求出矩形的最大面積，并計(jì)算差，即是此時(shí)陰影圖形的面積；
依此類推，計(jì)算第n個圖形中陰影部分的面積．

解答 解：如圖1，作高線AD，
則AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_陰影=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×a=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}{a}^{2}$，
如圖2，作高線AD，交BC于D，交EG于M，
設(shè)EG=x，EF=y，
∵EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴$\frac{EG}{BC}=\frac{AM}{AD}$，
∴$\frac{x}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a-y}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-y，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_矩形EFHG=xy=x（$\frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ax，
當(dāng)x=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{2}$a時(shí)，S有最大值，S_大=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（\frac{1}{2}a）^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×$（\frac{1}{2}a）$=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$，
∴S_陰影=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{3}}{a}^{2}$，
如圖3，分別設(shè)四個矩形的面積為S₁、S₂、S₃、S₄，
由圖2可知：EG=$\frac{1}{2}a$，
同理得：S₂=$\frac{\sqrt{3}}{8}$×$（\frac{1}{2}a）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{32}{a}^{2}$，
Rt△GHC中，設(shè)MN=m，MH=n，
HC=$\frac{a-\frac{1}{2}a}{2}$=$\frac{1}{4}a$，
∵∠C=60°，
∴∠HGC=30°，
tan30°=$\frac{CH}{GH}$，
∴GH=$\frac{\frac{1}{4}a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∵M(jìn)N∥HC，
∴△GMN∽△GHC，
∴$\frac{MN}{HC}$=$\frac{GM}{GH}$，
∴$\frac{m}{\frac{1}{4}a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a-n}{\frac{\sqrt{3}}{4}a}$，
∴n=$\frac{\sqrt{3}}{4}a-\sqrt{3}m$，
∴S₄=mn=m（$\frac{\sqrt{3}}{4}a-\sqrt{3}m$）=-$\sqrt{3}{m}^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$am，
當(dāng)m=-$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a}{2×（-\sqrt{3}）}$=$\frac{1}{8}a$時(shí)，S₄=有最大值，是-$\sqrt{3}$×$（\frac{1}{8}a）^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$a×$\frac{1}{8}$a=$\frac{\sqrt{3}}{64}{a}^{2}$，
∴S_陰影=$\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$-2×$\frac{\sqrt{3}}{64}{a}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{32}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{16}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{4}}{a}^{2}$，
…
依此類推，則第n個圖形中陰影部分的面積為：$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n+1}}{a}^{2}$；
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形、矩形面積的求法、二次函數(shù)的最值問題，有難度，計(jì)算量大，熟練掌握相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比是關(guān)鍵，與二次函數(shù)的相結(jié)合，利用二次函數(shù)的最值求矩形面積的最大值．