Question

8．等腰△ABC中，AC=BC，∠ABC=α．
（1）如圖1，CD⊥AB于D，作BC的垂直平分線交AB于E，若AB=8，AC=5，求BE的值；
（2）如圖2，若BQ平分∠ABC，分別過C、Q作BC、BQ的垂線，相交于P點，當α=30°時，試探究PQ、BQ、CQ三邊的關(guān)系；
（3）若將圖2中∠PCB、∠PQB都改為120°，當α=20°時，其他條件不變，試探究PQ、BQ、CQ三邊的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4，由勾股定理得到CD=3，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到CE=BE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，過C作CD⊥CQ交BQ于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=120°，根據(jù)角平分線的定義得到∠CBQ=15°，推出△CQD是等腰直角三角形，求得DQ=$\sqrt{2}$CQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=PQ，于是得到結(jié)論；
（3）如圖3，作∠QCD=120°交BQ于D，過C作CH⊥BQ于H，根據(jù)角的和差得到∠QCP=∠BCD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=140°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=PQ，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AC=BC=5，CD⊥AB，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴CD=3，
∵BC的垂直平分線交AB于E，
∴CE=BE，
∴DE=4-BE，
∵CD²+DE²=CE²，
∴3²+（4-BE）²=BE²，
∴BE=$\frac{25}{8}$；

（2）如圖2，過C作CD⊥CQ交BQ于D，
∵AC=BC，∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=15°，
∴∠CQB=45°，
∴△CQD是等腰直角三角形，
∴DQ=$\sqrt{2}$CQ，
∵∠PQB=∠BCP=90°，
∴∠P=∠CBQ=15°，
在△CQP與△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠CBE}\\{∠PQC=∠BDC=135°}\\{CQ=CD}\end{array}\right.$，
∴△CQP≌△CDB，
∴BD=PQ，
∵BQ=BD+DQ，
∴BQ=PQ+$\sqrt{2}$CQ；
（3）如圖3，作∠QCD=120°交BQ于D，過C作CH⊥BQ于H，
∵∠PCB=∠PQB=120°，
∴∠QCP=∠BCD，
∵AC=BC，∠ABC=20°，
∴∠ACB=140°，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=10°，
∴∠CQB=30°，
∴∠CDQ=30°，
∴CQ=CD，
∴DQ=2QH=$\sqrt{3}$CQ，
在△CQP與△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QCP=∠DCB}\\{CQ=CD}\\{∠PQC=∠BDC=150°}\end{array}\right.$，
∴△CQP≌△CDB，
∴BD=PQ，
∵BQ=BD+DQ，
∴BQ=PQ+$\sqrt{3}$CQ．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．