Question

如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長線于點F，交AD于點E，交AC于點M．
（1）△ACF與△BAF相似嗎？請說明理由；
（2）如果AF=6，BD=2，AC=4，求DC和AM的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）首先證明∠DAF=∠ADF，結合平分線的性質以及角角之間的數量關系得到∠BAF=∠C，再根據∠AFB=∠AFC即可判定△ACF與△BAF相似；
（2）連接DM，首先求出BF的長度，利用△ACF與△BAF相似，得到

AF

BF

=

FC

AF

，結合題干數據求出CF的長度，進而求出CD的長度，由∠DAM=∠ADM，∠BAD=∠CAD，得到∠BAD=∠ADM，進而得到DM∥BA，即

AM

MC

=

BD

DC

，結合線段之間的數量關系即求出AM的長．

解答：解：（1）△ACF∽△BAF．
∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴∠DAF=∠ADF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠DAF=∠BAF+∠BAD，∠ADF=∠C+∠CAD，
∴∠BAF=∠C．
又∵∠AFB=∠AFC，
∴△ACF∽△BAF．

（2）連接DM．
∵EF垂直平分AD，
∴DM=AM，DF=AF=6．
∵BD=2．
∴BF=6-2=4．
由（1）知，△ACF∽△BAF，
∴

AF

BF

=

FC

AF

．
∴AF²=BF•CF，即36=4CF．解得CF=9．
∴CD=CF-FD=9-6=3．
∵∠DAM=∠ADM，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADM．
∴DM∥BA．
∴

AM

MC

=

BD

DC

．
∴

AM

AC

=

BD

BC

．
∵BC=DC+BD=3+2=5．
即

AM

4

=

2

5

．
∴AM=

8

5

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質的知識，解答本題的（1）問需要熟練掌握兩三角形相似的判斷定理，第（2）問解答連接DM利用三角形相似的性質求線段CF的很關鍵，此題有一定的難度．