Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，C是$\widehat{BG}$的中點，CD⊥AB于D，BG交CD、AC與E、F．求證：
①CD=$\frac{1}{2}$BG；BE=EF=CE；GF=2DE；
②OE=$\frac{1}{2}$AF，OE∥AC；即OE是△ABF的中位線；
③若D是OB的中點，則△CEF是等邊三角形．

Answer 1

分析 ①連接AG、BC、CO，作FK⊥AB于K，由圓周角定理和垂徑定理得出∠BAC=∠GAC，OC⊥BG，BH=GH=$\frac{1}{2}$BG，由△BOC的面積=$\frac{1}{2}$OB•CD=$\frac{1}{2}$OC•BH，得出CD=BH=$\frac{1}{2}$BG；由垂心得出OE⊥BC，證出OE∥AC，由平行線得出BE=EF，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CE=$\frac{1}{2}$BF=BE=EF；由平行線證出KD=BD，由三角形中位線定理得出FK=2DE，由角平分線的性質(zhì)定理得出GF=FK=2DE；
②證明OE是△ABF的中位線，得出OE=$\frac{1}{2}$AF，OE∥AC即可；
③由線段垂直平分線的性質(zhì)得出OC=BC，證出△BOC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BOC=∠BCO=60°，∠OCD=30°，由圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCA=∠BAC=30°，得出∠ECF=60°，即可得出結論．

解答 證明：連接AG、BC、CO，作FK⊥AB于K，如圖所示：
①∵C是$\widehat{BG}$的中點，
∴$\widehat{BC}=\widehat{GC}$，
∴∠BAC=∠GAC，OC⊥BG，BH=GH=$\frac{1}{2}$BG，
∵OB=OC，△BOC的面積=$\frac{1}{2}$OB•CD=$\frac{1}{2}$OC•BH，
∴CD=BH=$\frac{1}{2}$BG；
∵BH⊥OC，CD⊥OB，
∴E是△BOC的垂心，
∴OE⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∵OA=OB，
∴BE=EF，
∵∠BCF=90°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BF=BE=EF；
∵CD⊥AB，F(xiàn)K⊥AB，
∴CD∥FK，
∵BE=EF，
∴KD=BD，
∴FK=2DE，
∵∠BAC=∠GAC，F(xiàn)G⊥AG，F(xiàn)K⊥AB，
∴GF=FK=2DE；
②∵OA=OB，BE=EF，
∴OE是△ABF的中位線，
∴OE=$\frac{1}{2}$AF，OE∥AC；
③∵D是OB的中點，CD⊥OB，
∴OC=BC，
又∵OB=OC，
∴OC=BC=OB，即△BOC是等邊三角形，
∴∠BOC=∠BCO=60°，∠OCD=30°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠BAC=30°，
∴∠ECF=30°+30°=60°，
∵EF=CE，
∴△CEF是等邊三角形．

點評 本題考查了三角形中位線定理、垂徑定理、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度．