Question

1．四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．
（1）如圖1，求證：AE=EF；
（2）如圖2，連接DF，過點(diǎn)C作CH⊥DF，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若AB=4，BE=$\frac{1}{3}$BC，求CH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）在AB上取BH=BE，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；
（2）過F作FM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M，F(xiàn)N⊥CD于N，于是得到CN=CM=FM=NF，通過△ABE≌△EFM，得到BE=FM，AB=EM=4，根據(jù)勾股定理得到DF=$\sqrt{D{N}^{2}+N{F}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DF}{CD}=\frac{FN}{CH}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在AB上截取BH=BE，連接HE，如圖1所示：
則△BHE是等腰直角三角形，AH=CE，
∴BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∴∠1+∠HEA=45°，
由（1）得：∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠1+∠CEF=45°，
∴∠1=∠2，
在△AHE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AH=CE}\\{∠AHE=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

（2）過F作FM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M，F(xiàn)N⊥CD于N，
則四邊形CMFN是正方形，
∴CN=CM=FM=NF，
由（1）知AE=EF，
在△ABE與△EFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EMF=90°}\\{∠BAE=∠FEM}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EFM，
∴BE=FM，AB=EM=4，
∵CH的長(zhǎng)為BE=$\frac{1}{3}$BC，
∴BE=FM=$\frac{4}{3}$，
∴DN=CE=$\frac{8}{3}$，
∴DF=$\sqrt{D{N}^{2}+N{F}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∵CH⊥DF，
∴∠DNF=∠H=90°，
∵∠FDN=∠CDH，
∴△DNF∽△CDH，
∴$\frac{DF}{CD}=\frac{FN}{CH}$，
即$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{3}}{4}=\frac{\frac{4}{3}}{CH}$，
∴CH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正確的周長(zhǎng)輔助線是解題的關(guān)鍵．