Question

6．如圖1，拋物線y=-x²-4x+5與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求直線AC的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連接CD，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過(guò)P作PE∥x軸交直線AC于點(diǎn)E，作PF∥CD交直線AC于點(diǎn)F，當(dāng)線段PE+PF取最大值時(shí)，在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)L，在y軸上找一點(diǎn)K，連接OL，LK，PK，求線段OL+LK+PK的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)L的坐標(biāo)．
（3）如圖2，點(diǎn)M（-2，-1）為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N（2，7）為直線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，連接MN，AM．點(diǎn)H是線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接GH，將△MGH沿GH翻折得到△M′GH（點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為M′），問(wèn)是否存在點(diǎn)H，使得△M′GH與△NGH重合部分的圖形為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出NH的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0．y=0，求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解方程組即可．
（2）如圖1中，連接PC、PA，作PT⊥AC于T．當(dāng)高PT最大時(shí)，PE、PF最大，即PE+PF最大，此時(shí)△PAC的面積最大，設(shè)P（m，-m²-4m+5），構(gòu)建二次函數(shù)確定△PAC面積最大時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)，作點(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)O′，O′關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)O″，連接PO″交y軸于K，連接O′K交對(duì)稱軸于L，此時(shí)OL+LK+PK最短．分別求出直線PO″，O′K的解析式即可解決問(wèn)題．
（3）存在．分三種情形討論①如圖2中，重疊部分是△GHT，當(dāng)∠GHT=90°時(shí)，②如圖3中，重疊部分是△GHT，當(dāng)∠GTH=90°時(shí)，作HE⊥GM于E．③如圖4中，重疊部分是△GHT，當(dāng)∠GTH=90°時(shí)，作GF⊥MN于F．

解答 解：（1）令y=0，則-x²-4x+5=0，解得x=-5或1，
∴A（-5，0），B（1，0），
令x=0，則y=5，
∴C（0，5），
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{-5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=x+5．
∵y=-x²-4x+5=-（x+2）²+9，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（-2，9）．

（2）（方法一）如圖1中，連接PC、PA，作PT⊥AC于T．

∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠PEF，∠PFE是不變的，
∴當(dāng)高PT最大時(shí)，PE、PF最大，即PE+PF最大，此時(shí)△PAC的面積最大，設(shè)P（m，-m²-4m+5），
∵S_△PAC=S_△PAO+S_△PCO-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×5×（-m²-4m+5）+$\frac{1}{2}$×5×（-m）-$\frac{1}{2}$×5×5=-$\frac{5}{2}$m²-$\frac{25}{2}$m=-$\frac{5}{2}$（m+$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$，
∵-$\frac{5}{2}$＜0，
∴m=-$\frac{5}{2}$時(shí)，△PAC面積最大，此時(shí)P（-$\frac{5}{2}$，$\frac{35}{4}$），
方法二，設(shè)對(duì)稱軸交AC于H，作PG∥y軸交AC于G．
∵A（-5，0），C（0，5），
∴直線AC的解析式為y=x+5，
設(shè)P（m，-m²-4m+5），則G（m，m+5），易知PG=PE=-m²-4m+5-m-5=-m²-5m，
∵CD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，DH=6，
由△PFG∽△DCH，得$\frac{PF}{CD}$=$\frac{PG}{DH}$，即$\frac{PF}{2\sqrt{5}}$=$\frac{-{m}^{2}-5m}{6}$，
∴PF=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$m²-$\frac{5\sqrt{5}}{3}$m，
∴PE+PF=-（1+$\frac{\sqrt{5}}{3}$）m²-（5+$\frac{5\sqrt{5}}{3}$）m，
∵-（1+$\frac{\sqrt{5}}{3}$）＜0，
∴m=-$\frac{5+\frac{5\sqrt{5}}{3}}{2（1+\frac{\sqrt{5}}{3}）}$=-$\frac{5}{2}$時(shí)，PE+PF的值最大．此時(shí)P（-$\frac{5}{2}$，$\frac{35}{4}$），
作點(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)O′，O′關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)O″，連接PO″交y軸于K，連接O′K交對(duì)稱軸于L．此時(shí)OL+LK+PK最短．
理由：∵LO=LO′，KO′=KO″，
∴LO+LK+PK=（LO′+KL）+PL=KO′+PK=KO″+PK=PO″，
∴LO+LK+PK最短．（兩點(diǎn)之間線段最短），此時(shí)最小值=$\sqrt{（4+\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{35}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{1901}}{4}$．
∵O″（4，0），
∴可得直線PO″的解析式為y=-$\frac{35}{26}$x+$\frac{70}{13}$，
∴點(diǎn)K坐標(biāo)（0，$\frac{70}{13}$），∵O′（-4，0），
∴直線O′K解析式為：y=$\frac{35}{26}$x+$\frac{70}{13}$，
∵x=-2時(shí)，y=$\frac{35}{13}$，
∴點(diǎn)L坐標(biāo)（-2，$\frac{35}{13}$）．

（3）存在．
①如圖2中，重疊部分是△GHT，當(dāng)∠GHT=90°時(shí)，

∵M(jìn)（-2，-1），N（2，7），
∴可得直線MN的解析式為y=2x+3，
∵G（-2，3），GH⊥MN，
∴可得直線GH的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{11}{5}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)H坐標(biāo)（-$\frac{2}{5}$，$\frac{11}{5}$），
∴NH=$\sqrt{（2+\frac{2}{5}）^{2}+（7-\frac{11}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

②如圖3中，重疊部分是△GHT，當(dāng)∠GTH=90°時(shí)，作HE⊥GM于E．

∵∠HGT=∠HGE，HT⊥GT，HE⊥GE，
∴HT=HE，設(shè)HT=HE=x，
由①可知，GT=GE=$\sqrt{（-2+\frac{2}{3}）^{2}+（3-\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，TM=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$，MN=4$\sqrt{5}$，
由△MEH∽△MTG，得到，$\frac{ME}{MT}$=$\frac{MH}{GM}$，
∴$\frac{4-\frac{4}{3}\sqrt{2}}{\frac{4}{3}\sqrt{5}}$=$\frac{MH}{4}$，
∴MH=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$-$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
∴HN=MN-MH=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$+$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$．

③如圖4中，重疊部分是△GHT，當(dāng)∠GTH=90°時(shí)，作GF⊥MN于F．

由②可知，GF=GT=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，F(xiàn)N=$\frac{8}{3}$$\sqrt{5}$，GN=4$\sqrt{2}$，
由△NTH∽△NFG得$\frac{NH}{NG}$=$\frac{TN}{NF}$，
∴$\frac{NH}{4\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}-\frac{4}{3}\sqrt{2}}{\frac{8}{3}\sqrt{5}}$，
∴NH=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、最值問(wèn)題、翻折變換、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)確定最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱確定最小值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．