Question

3．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC邊上一點(diǎn)，作∠BPE=$\frac{1}{2}$∠BCA，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥PE，垂足為D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖①，易證PE=2BD．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的位置如圖②時(shí)，線段PE，BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明；
（2）若把條件“AB=AC”改為AB=mAC，其他條件不變，如圖③，線段PE，BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的 猜想（用含m的式子表示），不必證明．

Answer 1

分析 （1）過P作PQ∥CA交AB于G，交BF于Q，根據(jù)∠BPE=$\frac{1}{2}$∠BCA可知∠BPE=$\frac{1}{2}$∠BCA=$\frac{1}{2}$∠BPQ，再根據(jù)BD⊥PE，可得△BPQ是等腰三角形，所以BD=$\frac{1}{2}$BQ，由全等三角形的判定定理可知△BGQ≌△PGE，所以PE=BQ，故可得出結(jié)論；
（3）同（2）可得△BGQ∽△PGE，所以$\frac{BQ}{PE}$=$\frac{BG}{PG}$=$\frac{AB}{AC}$=m，再由BD=$\frac{1}{2}$BQ即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）PE=2BD，理由如下：
如圖②：

過P作PQ∥CA交AB于G，交BF于Q．
∵∠BPE=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠BPE=$\frac{1}{2}$∠BCA=$\frac{1}{2}$∠BPQ，
∵BD⊥PE，
∴△BPQ是等腰三角形，
∴BD=$\frac{1}{2}$BQ，
∵PQ∥AC，BA⊥AC，
∴BA⊥PQ，
∵AB=AC，
∴PG=BG，
∵∠DBE+∠DEB=90°，∠DEB=∠GEP，∠GEP+∠GPE=90°，
∴∠DBE=∠GPE，
在△BGQ與△PGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGE=∠BGQ}\\{PG=BG}\\{∠GPE=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△BGQ≌△PGE（ASA），
∴PE=BQ，
∴$\frac{BD}{PE}$=$\frac{1}{2}$．
∴PE=2BD
（2）解：如圖③，
∵同（1）可得△BGQ∽△PGE，
∴$\frac{BQ}{PE}$=$\frac{BG}{PG}$=$\frac{AB}{AC}$=m，
∵BD=$\frac{1}{2}$BQ，
∴$\frac{BD}{PE}$=$\frac{1}{2}$m
∴$\frac{PE}{BD}$=$\frac{2}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．