Question

13．如圖，矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)：同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以每秒1cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．已知AD=6，且t=2時(shí)，PQ=2$\sqrt{5}$．
（1）AB=8；
（2）連接DQ并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，把DE沿DC翻折交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF．
①當(dāng)DP⊥DF時(shí)，求t的值；
②試證明，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△DEF的面積是定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得出PB的長(zhǎng)，再得出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)度即可；
（2）①首先證明△ADP∽△CDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{AD}{CD}=\frac{AP}{CF}$，進(jìn)而得到$\frac{6}{8}=\frac{2t}{6-t}$，解出t即可；
②由△EBQ∽△EAD，得$\frac{BE}{AE}=\frac{BQ}{AD}$，進(jìn)而得到BE=$\frac{8t}{6-t}$，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵AD=6，且t=2時(shí)，PQ=2$\sqrt{5}$，
∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)：同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以每秒1cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
∴AP=2×2=4，BQ=2×1=2，
∴在Rt△BPQ中，BP=$\sqrt{P{Q}^{2}-B{Q}^{2}}=\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}=4$，
∴AB=AP+PB=4+4=8，
故答案為：8；
（2）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∵DP⊥DF，
∴∠ADP=∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AP}{CF}$，
∵AD=6，AP=2t，CD=8，CF=CQ=6-t，
∴$\frac{6}{8}=\frac{2t}{6-t}$，
解得t=$\frac{18}{11}$；
②定值，理由如下：
∵△EBQ∽△EAD，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{BQ}{AD}$，即$\frac{BE}{BE+8}=\frac{t}{6}$，
解得BE=$\frac{8t}{6-t}$，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$×QF×（DC+BE）=$\frac{1}{2}$×2（6-t）×（8+$\frac{8t}{6-t}$）=48，
∴△DEF的面積為48．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握證明三角形相似的方法和相似三角形的性質(zhì)，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．