Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C，給出如下定義：
如果矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的覆蓋矩形．點(diǎn)A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形．例如，下圖中的矩形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，AB₃C₃D₃都是點(diǎn)A，B，C的覆蓋矩形，其中矩形AB₃C₃D₃是點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形．
（1）已知A（-2，3），B（5，0），C（t，-2）．
①當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為35；
②若點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40，求直線AC的表達(dá)式；
（2）已知點(diǎn)D（1，1）．E（m，n）是函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上一點(diǎn)，⊙P是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形的外接圓，求出⊙P的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①由矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的覆蓋矩形．點(diǎn)A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形，得出最優(yōu)覆蓋矩形的長(zhǎng)為：2+5=7，寬為3+2=5，即可得出結(jié)果；
②由定義可知，t=-3或6，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（-3，-2）或（6，-2），設(shè)AC表達(dá)式為y=kx+b，代入即可求出結(jié)果；
（2）OD所在的直線交雙曲線于點(diǎn)E，矩形OFEG是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形，OD所在的直線表達(dá)式為y=x，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），⊙P的半徑最小r=$\sqrt{2}$，當(dāng)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1時(shí)，⊙P的半徑最大r=$\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）①∵A（-2，3），B（5，0），C（2，-2），矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)A，B，C的覆蓋矩形．點(diǎn)A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形，
∴最優(yōu)覆蓋矩形的長(zhǎng)為：2+5=7，寬為3+2=5，
∴最優(yōu)覆蓋矩形的面積為：7×5=35；
②∵點(diǎn)A，B，C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40，
∴由定義可知，t=-3或6，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（-3，-2）或（6，-2），
設(shè)AC表達(dá)式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=-2+b}\\{-2=-3k+b}\end{array}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{3=-2k+b}\\{-2=6k+b}\end{array}}\right.$
∴$\left\{{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=13}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{8}}\\{b=\frac{7}{4}}\end{array}}\right.$
∴y=5x+13或$y=-\frac{5}{8}x+\frac{7}{4}$；

（2）①OD所在的直線交雙曲線于點(diǎn)E，矩形OFEG是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形，如圖1所示：
∵點(diǎn)D（1，1），
∴OD所在的直線表達(dá)式為y=x，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），
∴OE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{2}$，
∴⊙P的半徑最小r=$\sqrt{2}$，
②當(dāng)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1時(shí)，如圖2所示：
1=$\frac{x}{4}$，解得x=4，
∴OE═$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴⊙P的半徑最大r=$\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，
∴$\sqrt{2}≤r≤\frac{{\sqrt{17}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求直線的解析式、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、反比例函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．