Question

2．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE=$\frac{1}{3}$AB，將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，連接BP交EF于點(diǎn)Q，對(duì)于下列結(jié)論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=3EQ；④若P是AD的中點(diǎn)，則矩形ABCD為正方形．其中正確的是（　�。�

• A． ①④
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 求出BE=2AE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得PE=BE，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠BEF=60°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠EFB=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得EF=2BE，判斷出①正確；利用30°角的正切值求出PF=$\sqrt{3}$PE，判斷出②錯(cuò)誤；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判斷出③正確；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等邊三角形，進(jìn)而得出2AP≠AB，故AD≠AB，即矩形ABCD不是正方形，判斷出④錯(cuò)誤．

解答 解：∵AE=$\frac{1}{3}$AB，
∴BE=2AE，
由翻折的性質(zhì)得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°-30°=60°，
∴∠BEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠AEP）=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴∠EFB=90°-60°=30°，
∴EF=2BE，故①正確；

∵BE=PE，
∴EF=2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②錯(cuò)誤；

由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ=∠EFB=30°，
∴BE=2EQ，EF=2BE，
∴FQ=3EQ，故③正確；

由翻折的性質(zhì)，∠EFB=∠EFP=30°，
則∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°-∠EBQ=90°-30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等邊三角形，
則$\sqrt{3}$AP=AB，
即2AP≠AB，故AD≠AB，
∴矩形ABCD不是正方形．
故④錯(cuò)誤；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識(shí)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．