Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AB=13cm，AD=4cm，點(diǎn)E、F同時(shí)分別從D、B兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿DC、BA向終點(diǎn)C、A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G、H分別為AE、CF的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）填空：
①當(dāng)t為$\frac{13}{2}$s時(shí)，四邊形EGFH是菱形；
②當(dāng)t為8或$\frac{2}{3}$s時(shí)，四邊形EGFH是矩形．

Answer 1

分析 （1）易證△ADE≌△CBF，進(jìn)而易得GE∥HF，且GE=HF，所以四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）①四邊形EGFH是菱形，G是AE的中點(diǎn)，則GF=GE=GA=$\frac{1}{2}$AE，得到∠AFE=90°，根據(jù)DE=AF，列方程求解；
②四邊形EGFH是矩形，易得△ADE∽△EHC，則根據(jù)$\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{CH}$列方程求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°
∵AD=CB，
∵點(diǎn)E、F同時(shí)分別從D、B兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿DC、BA向終點(diǎn)C、A運(yùn)動(dòng)，
∴DE=BF，
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}\\{∠D=∠B}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，∠DEA=∠EAF=∠CFB
∵點(diǎn)G、H分別為AE、CF的中點(diǎn)，
∴GE∥HF，且GE=HF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）①連EF，
∵四邊形EGFH是菱形，G是AE的中點(diǎn)．
∴GF=GE=GA=$\frac{1}{2}$AE，
∴EF⊥AB，
∴DE=AF，
∴t=13-t，
∴t=$\frac{13}{2}$．
故答案為：$\frac{13}{2}$．
②∵四邊形EGFH是矩形，
∴∠D=∠EHC=∠AEH=90°，
∴∠AED+∠HEC=∠ECH+∠HEC=90°，
∴∠AED=∠ECH，
∴△ADE∽△EHC，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{CH}$，
∴$\frac{\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}}{13-t}=\frac{t}{\frac{1}{2}\sqrt{{t}^{2}+{4}^{2}}}$，
解得：t₁=8，t₂=$\frac{2}{3}$．
故答案為：8或$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查矩形、菱形、平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的綜合運(yùn)用，第2小題根據(jù)結(jié)論逆向分析列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．