Question

17．如圖，正方形A₁B₁P₁P₂的頂點(diǎn)P₁、P₂在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A₁、B₁分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形A₂B₂P₂P₃，頂點(diǎn)A₂在x軸的正半軸上，P₃也在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2）．

Answer 1

分析 作P₁C⊥y軸于C，P₂D⊥x軸于D，P₃E⊥x軸于E，P₃F⊥P₂D于F，設(shè)P₁（a，$\frac{8}{a}$），則CP₁=a，OC=$\frac{8}{a}$，易得Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，則OB₁=P₁C=A₁D=a，所以O(shè)A₁=B₁C=P₂D=$\frac{8}{a}$-a，則P₂的坐標(biāo)為（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），然后把P₂的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$，得到a的方程，解方程求出a，得到P₂的坐標(biāo)；設(shè)P₃的坐標(biāo)為（b，$\frac{8}$），易得Rt△P₂P₃F≌Rt△A₂P₃E，則P₃E=P₃F=DE=$\frac{8}$，通過(guò)OE=OD+DE=4+$\frac{8}$=b，這樣得到關(guān)于b的方程，解方程求出b，得到P₃的坐標(biāo)．

解答 解：作P₁C⊥y軸于C，P₂D⊥x軸于D，P₃E⊥x軸于E，P₃F⊥P₂D于F，如圖所示，
則∠P₁CB₁=90°，
∴∠P₁B₁C+∠CP₁B₁=90°，
設(shè)P₁（a，$\frac{8}{a}$），則CP₁=a，OC=$\frac{8}{a}$，
∵四邊形A₁B₁P₁P₂為正方形，
∴P₁B₁=A₁B₁，∠A₁B₁P₁=∠B₁A₁P₂=90°，
∴∠P₁B₁C+∠A₁B₁O=90°，
∴∠CP₁B₁=∠A₁B₁O，
在△P₁B₁C和△B₁A₁O中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{P}_{1}C{B}_{1}=∠{B}_{1}O{A}_{1}}&{\;}\\{∠C{P}_{1}{B}_{1}=∠{A}_{1}{B}_{1}O}&{\;}\\{{P}_{1}{B}_{1}={A}_{1}{B}_{1}}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△P₁B₁C≌△B₁A₁O（AAS），
∴OB₁=P₁C=A₁D=a，
同理：P₁C=A₁D=a，
∴OA₁=B₁C=P₂D=$\frac{8}{a}$-a，
∴OD=a+$\frac{8}{a}$-a=$\frac{8}{a}$，
∴P₂的坐標(biāo)為（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），
把P₂的坐標(biāo)代入y=$\frac{8}{x}$（x＞0），
得：（$\frac{8}{a}$-a）•$\frac{8}{a}$=8，
解得：a=-2（不合題意，舍去），或a=2，
∴P₂（4，2），
設(shè)P₃的坐標(biāo)為（b，$\frac{8}$），
∵四邊形P₂P₃A₂B₂為正方形，
同理可證：△P₂P₃F≌△A₂P₃E，
∴P₃E=P₃F=DE=$\frac{8}$，
∴OE=OD+DE=4+$\frac{8}$，
∴4+$\frac{8}$=b，
解得：b=2+2$\sqrt{3}$，或b=2-2$\sqrt{3}$（不合題意，舍去），
∴$\frac{8}$=2$\sqrt{3}$-2，
∴點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為：（2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2；
故答案為：2$\sqrt{3}$+2，2$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．