Question

13．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象如圖，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b=0；③當(dāng)m≠1時，a+b＞am²+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，x₁+x₂=2．其中正確的有②③⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)拋物線對稱軸方程得到-$\frac{2a}$=1，則可對①進(jìn)行判斷；由拋物線開口方向得到a＜0，由b=-2a得到b＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方得到c＞0，則可對②進(jìn)行判斷；利用x=1時，函數(shù)有最大值對③進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）與（-1，0）之間，則x=-1時，y＜0，于是可對④進(jìn)行判斷；由ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂得到ax₁²+bx₁+cax₂²+bx₂+c，則可判斷x=x₁和x=x₂所對應(yīng)的函數(shù)值相等，則x₂-1=1-x₁，于是可對⑤進(jìn)行判斷．

解答 解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對稱軸為x=-$\frac{2a}$=1，即b=-2a，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯誤；
∵b=-2a，
∴2a+b=0，所以②正確；
∵x=1時，函數(shù)值最大，
∴a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm（m≠1），所以③正確；
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)到對稱軸x=1的距離大于1，
∴拋物線與x軸的一個交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）與（3，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）與（-1，0）之間，
∴x=-1時，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以④錯誤；
當(dāng)ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，則ax₁²+bx₁+cax₂²+bx₂+c，
∴x=x₁和x=x₂所對應(yīng)的函數(shù)值相等，
∴x₂-1=1-x₁，
∴x₁+x₂=2，所以⑤正確；
故答案為②③⑤．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．