Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$cm，∠C=30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，DF⊥ED；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AEFD是菱形？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，可以證明四邊形BEDF是矩形，由$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$列出方程即可解決．
（2）當(dāng)AE=AD時(shí)，可以證明四邊形AEFD是菱形，列出方程即可．

解答 解：（1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，∵DF∥AB，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∴四邊形BEDF是矩形，
∴∠EDF=90°即DE⊥DF．
在RT△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°，
∴AB=5，AC=10，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴t=$\frac{5}{2}$．
（2）∵在RT△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$•2t=t，
∵AE=t，
∴AE=DF，∵AE∥DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
當(dāng)AE=AD時(shí)，四邊形AEFD是菱形，
∴t=10-2t，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴t=$\frac{10}{3}$時(shí)，四邊形AEFD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、菱形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考常考題型．