Question

2．如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，AH是高．

（1）若BC=10，AH=8，則四邊形ADEF的面積為20．
（2）求證：∠DHF=∠DEF．

Answer 1

分析 （1）由三角形面積公式可知：△BDE、△EFC的面積都等于△ABC面積的四分之一，進(jìn)而可求出四邊形ADEF的面積．
（2）首先證明四邊形ADEF是平行四邊形，進(jìn)而可得∠DEF=∠DAF，再利用三角形的中位線(xiàn)定理證明四邊形ADEF是平行四邊形，可得到∠DAF=∠DEF，即可證出∠DHF=∠DEF．

解答 （1）解：∵BC=10，AH=8，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×8×10=40，
∵點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，
∴△BDE、△EFC的面積都等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴四邊形ADEF的面積=40-20=20，
故答案為：20；
（2）證明：
∵D、E、F分別是△ABC各邊中點(diǎn)，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
∴∠DEF=∠DAF，
∵AH是△ABC的高
∴△ABH、△ACH是直角三角形，
∵點(diǎn)D、點(diǎn)F是斜邊AB、AC中點(diǎn)，
∴DH=DA，HF=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA，
即∠DAF=∠DHF，
∴∠DEF=∠DHF．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形的中位線(xiàn)定理，直角三角形的性質(zhì)，解決題目的關(guān)鍵是證明∠DHF=∠DAF與∠DAF=∠DEF．