Question

16．如圖所示，直線y=-$\frac{1}{2}x$+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線y=x交于點(diǎn)C，在線段OA上，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點(diǎn)E、F，連接EF．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形總為矩形（點(diǎn)P、Q重合除外）．
（1）求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是多少？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形PEFQ的面積為5．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=-$\frac{1}{2}$x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，得出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用EP∥BO，得出$\frac{OB}{AO}$=$\frac{EP}{AP}$=$\frac{1}{2}$，據(jù)此可以求得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）先求得矩形PEFQ的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)等量關(guān)系：矩形PEFQ的面積為5，列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{1}{2}$x+4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴x=0時(shí)，y=4，y=0時(shí)，x=8，
∴$\frac{OB}{AO}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)t秒時(shí)，QO=FQ=t，則EP=t，
∵EP∥BO，
∴$\frac{OB}{AO}$=$\frac{EP}{AP}$=$\frac{1}{2}$，
∴AP=2t，
∵動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；

（2）如圖1，當(dāng)Q在P點(diǎn)的左邊時(shí)，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=8-t-2t=8-3t，
∴S_矩形PEFQ=QP•QF=（8-3t）•t=8t-3t²，
依題意有
8t-3t²=5，
解得t₁=1，t₂=$\frac{5}{3}$；
如圖2，當(dāng)Q在P點(diǎn)的右邊時(shí)，
∵OQ=t，PA=2t，
∴2t＞8-t，
∴t＞$\frac{8}{3}$，
∴QP=t-（8-2t）=3t-8，
∴S_矩形PEFQ=QP•QF=（3t-8）•t=3t²-8t，
∵當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，
∴$\frac{8}{3}$＜t≤4，
依題意有
3t²-8t=5，
解得t₃=$\frac{4-\sqrt{31}}{3}$（不合題意舍去），t₄=$\frac{4+\sqrt{31}}{3}$；
綜上所述，當(dāng)t=1或$\frac{5}{3}$或$\frac{4+\sqrt{31}}{3}$時(shí)，矩形PEFQ的面積為5．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，得出P，Q不同的位置進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．